Bütünü eşit parçalara ayırmaktan, farklı zamanlarda gerçekleşen olayların ne zaman aynı anda olacağını bulmaya kadar geniş bir yelpazede karşımıza çıkarlar. Bu konunun mantığını anladığınızda, soruların aslında birer bulmaca gibi olduğunu ve doğru stratejiyle ne kadar kolay çözülebileceğini göreceksiniz.
Bu yazımızda, EBOB (En Büyük Ortak Bölen) ve EKOK (En Küçük Ortak Kat) arasındaki temel farkı netleştirecek, hangi problem türünde hangi yöntemi kullanmanız gerektiğini adım adım anlatacağız. Klasik problem tiplerinden başlayarak, LGS'de karşınıza çıkabilecek yeni nesil, mantık ve geometri tabanlı sorulara kadar uzanan çözümlü örneklerle konuyu pekiştireceğiz. Amacımız, size sadece formülleri vermek değil, problemlerin arkasındaki düşünce yapısını kavratarak bu konuda tam bir özgüven kazanmanızı sağlamaktır. Hazırsanız, sayıların gizemli dünyasındaki bu yolculuğa başlayalım ve EBOB-EKOK problemlerini sizin için bir sorun olmaktan çıkaralım.
Bütünden Parçaya Ayırma: EBOB Problemleri
EBOB problemlerinin temel mantığı, büyük bir bütünü, hiç artmayacak şekilde en büyük boyutlu eşit parçalara ayırmaktır. Bir problemi okuduğunuzda, içinde "eşit hacimli şişelere doldurma", "eşit uzunlukta parçalara ayırma", "kumaşları eşit ve en büyük alana sahip kare parçalara bölme" veya "insanları eşit sayıda ve en az sayıda olacak şekilde odalara yerleştirme" gibi ifadeler geçiyorsa, aklınıza hemen EBOB gelmelidir. Burada amaç, eldeki malzemeyi israf etmeden, mümkün olan en büyük ve en düzenli şekilde paylaştırmaktır. Kısacası, büyük sayılardan onları ortak olarak bölebilen en büyük sayıyı bulmaya, yani bütünden parçaya gitmeye çalışırız.
Örnek Problem: Boyutları 72 metre ve 90 metre olan dikdörtgen şeklindeki bir tarlanın etrafına, köşelere de birer tane gelecek şekilde eşit ve en geniş aralıklarla fidan dikilecektir. Bu iş için en az kaç fidana ihtiyaç vardır? Çözüm: Bu problemde "eşit ve en geniş aralık" ifadesi, bize iki fidan arasındaki mesafenin hem 72'yi hem de 90'ı tam bölmesi gerektiğini ve bu mesafenin en büyük olması gerektiğini söylüyor. Yani 72 ve 90'ın EBOB'unu bulmalıyız. 72=23⋅32 90=2⋅32⋅5 EBOB, ortak tabanlardan üssü küçük olanların çarpımıdır: EBOB(72,90)=21⋅32=2⋅9=18 metredir. Bu, iki fidan arasındaki mesafedir. Gereken fidan sayısı ise tarlanın çevresinin, bulunan EBOB değerine bölünmesiyle bulunur: Çevre = 2⋅(72+90)=2⋅162=324 metre. Fidan Sayısı = Çevre / EBOB = 324/18=18 adet fidan gereklidir.
Parçaları Birleştirme: EKOK Problemleri
EKOK problemlerinin mantığı ise EBOB'un tam tersidir. Küçük parçalardan yola çıkarak ortak bir bütün, ortak bir kat elde etmeye çalışırız. Sorularda "aynı anda tekrar ne zaman karşılaşırlar", "küçük tuğlalardan küp yapmak", "cevizlerin üçerli ve beşerli sayıldığında", "farklı zamanlarda çalan zillerin bir sonraki ortak çalma zamanı" gibi ifadeler varsa, bu bir EKOK problemidir. Burada amaç, farklı ritimlerde veya boyutlarda ilerleyen şeylerin gelecekteki ilk buluşma noktasını veya oluşturacakları en küçük ortak bütünü bulmaktır. Yani, küçük sayılardan onların ortak katı olan en küçük sayıya, parçadan bütüne bir yolculuk söz konusudur.
Örnek Problem: Bir limandan A gemisi 15 günde bir, B gemisi ise 20 günde bir sefere çıkmaktadır. Bu iki gemi, limandan aynı gün birlikte ayrıldıktan en az kaç gün sonra tekrar birlikte sefere çıkarlar? Çözüm: Problem, 15 ve 20'nin gelecekteki ilk ortak katını sormaktadır. Yani 15 ve 20'nin EKOK'unu bulmalıyız. 15=3⋅5 20=22⋅5 EKOK, ortak olan ve olmayan tüm tabanlardan üssü büyük olanların çarpımıdır: EKOK(15,20)=22⋅31⋅51=4⋅3⋅5=60. Bu iki gemi, 60 gün sonra tekrar birlikte sefere çıkarlar.
Gruplama ve Kalanlı Bölme Problemleri
Bu problem türü, EKOK'un bir varyasyonudur ve oldukça sık karşımıza çıkar. Bir miktar nesnenin (bilye, şeker, kitap vb.) belirli sayılarla gruplandığında (örneğin 5'erli, 6'şarlı) her seferinde aynı miktarda nesnenin arttığı veya eksik kaldığı durumları inceler. Eğer "her seferinde x tane artıyor" deniyorsa, sayıların EKOK'u bulunduktan sonra bu x değeri sonuca eklenir. Eğer "her seferinde y tane eksik kalıyor" veya "y tane daha olsaydı tam bölünecekti" deniyorsa, sayıların EKOK'u bulunduktan sonra bu y değeri sonuçtan çıkarılır. Bu, bulmacaya küçük bir katman daha ekler.
Örnek Problem: Ayşe, elindeki misketleri 8'erli ve 10'arlı gruplara ayırdığında her seferinde 3 misketi artıyor. Ayşe'nin misket sayısının 100'den fazla olduğu bilindiğine göre, en az kaç misketi vardır? Çözüm: Misket sayısı hem 8'e hem de 10'a bölündüğünde 3 kalanını veriyor. Önce 8 ve 10'un EKOK'unu bulalım. EKOK(8,10)=40. Eğer hiç misket artmasaydı, cevap 40'ın katları olacaktı. Her seferinde 3 misket arttığı için misket sayısı 40k+3 formülüne uyar. (k bir pozitif tam sayıdır). Şimdi 100'den fazla olan en küçük katı bulmalıyız: k=1 için 40(1)+3=43 (100'den az) k=2 için 40(2)+3=83 (100'den az) k=3 için 40(3)+3=123 (100'den fazla ve en küçük). Ayşe'nin en az 123 misketi vardır.
Yeni Nesil LGS Tarzı Geometrik Sorular
LGS'de EBOB ve EKOK soruları artık doğrudan sorulmak yerine, geometri, görsel zeka ve mantık yürütme becerisi gerektiren senaryoların içine gizlenir. Örneğin, dikdörtgen bir kartondan en büyük alana sahip kareler kesmek (EBOB) veya dikdörtgen şeklindeki fayanslarla kare bir zemin döşemek (EKOK) gibi. Bu tür sorularda ilk adım, problemi doğru okuyup EBOB mu yoksa EKOK mu kullanılacağını anlamaktır. Genellikle büyük bir şekilden küçük eş şekiller elde ediliyorsa EBOB, küçük şekiller birleştirilerek daha büyük bir şekil oluşturuluyorsa EKOK kullanılır.
Örnek LGS Tarzı Problem: Kenar uzunlukları 24 cm ve 30 cm olan dikdörtgen şeklindeki bir kartonun tamamı kullanılarak, hiç boşluk kalmayacak ve kartonlar üst üste gelmeyecek şekilde yan yana dizilerek bir kare zemin oluşturulacaktır. Bu iş için en az kaç adet dikdörtgen karton gereklidir? Çözüm: Bu problemde küçük dikdörtgenler birleştirilerek büyük bir kare zemin, yani parçadan bütüne gidiliyor. Bu bir EKOK problemidir. Oluşturulacak karenin bir kenarı, hem 24'ün hem de 30'un ortak katı olmalıdır. En az sayıda karton istendiği için bu kenar, en küçük ortak kat olmalıdır. EKOK(24,30)=120 cm. Oluşturulacak karenin bir kenarı 120 cm'dir. Gerekli karton sayısı ise büyük karenin alanının, bir tane küçük dikdörtgenin alanına bölünmesiyle bulunur: Karton Sayısı = (Karenin Alanı) / (Dikdörtgenin Alanı) = (120⋅120)/(24⋅30)=14400/720=20 adet karton gereklidir.
