9. sınıf matematik mantık soruları ve çözümleri

9. Sınıf Matematik Mantık Konusu: Soru ve Çözüm Rehberi

10 ilde dijital ikiz atölyeleri kuruluyor: İlk uygulama İstanbul’da tamamlandı

İçeriği Görüntüle

Lise matematiğine atılan ilk adım olan Mantık ünitesi, ilk başta sembolleri ve yeni kavramlarıyla biraz yabancı gelebilir. Ancak "önerme" nedir, "doğruluk değeri" ne anlama gelir, "ve, veya, ise" gibi bağlaçlar nasıl çalışır gibi temel taşları yerine oturttuğunuzda, aslında bir dil öğrendiğinizi ve bu dilin kurallarının ne kadar tutarlı olduğunu fark edeceksiniz. Bu ünite, sadece matematik dersi için değil, aynı zamanda problem çözme ve karar verme yetenekleriniz için de bir antrenman niteliğindedir.

Bu yazıda, Mantık konusunun temel yapı taşlarını kapsayan, sınavlarda ve denemelerde karşınıza çıkabilecek türden soruları dört ana başlık altında topladım. Her sorunun altında, sadece doğru cevabı değil, aynı zamanda o cevaba nasıl ulaşıldığını gösteren adım adım çözüm yolunu da bulacaksınız. Bu sayede eksiklerinizi daha kolay tespit edebilir ve konuyu sağlam bir şekilde öğrenebilirsiniz. Hazırsanız, mantık dünyasında keyifli bir yolculuğa çıkalım!

1. Önermeler ve Doğruluk Değerleri

Bu bölüm, konunun en temelini, yani bir ifadenin önerme olup olmadığını ve doğruluk değerini bulmayı içerir. Unutmayın, bir cümlenin önerme olabilmesi için kesin olarak doğru ya da yanlış bir hüküm bildirmesi gerekir.

Soru 1: Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir önermedir? Önerme olanların doğruluk değerini bulunuz. I. "Batman, Türkiye'nin Güneydoğu Anadolu Bölgesi'nde bir şehirdir." II. "Matematik dersi çok keyifli!" III. "En küçük asal sayı 1'dir." IV. "Bugün okuldan sonra ne yapacaksın?"

Çözüm 1:

• I. ifade: Kesin bir bilgi içerir ve bu bilgi doğrudur. Dolayısıyla bu bir önermedir. Doğruluk değeri 1'dir. (p ≡ 1)
• II. ifade: Kişisel bir görüş (öznel bir yargı) bildirir. Kesin bir doğruluk veya yanlışlıktan bahsedilemez. Bu nedenle önerme değildir.
• III. ifade: Kesin bir hüküm bildirir. En küçük asal sayının 2 olduğunu bildiğimize göre, bu hüküm yanlıştır. Dolayısıyla bu bir önermedir. Doğruluk değeri 0'dır. (q ≡ 0)
• IV. ifade: Bir soru cümlesidir. Doğru ya da yanlış bir hüküm bildirmez. Bu nedenle önerme değildir.

2. "Ve", "Veya", "Ya Da" Bağlaçları ile Bileşik Önermeler

İki veya daha fazla önermenin bağlaçlarla birleştirilmesiyle oluşan önermeleri inceleriz.

Soru 2: p ≡ 1, q ≡ 0 ve r ≡ 1 olduğuna göre, (p∧q′)∨(q∨r) bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz.

Çözüm 2: Adım adım ilerleyelim:

1. Öncelikle parantez içlerini ve değilleri (olumsuzları) çözümleyelim.
   • q önermesi 0 ise, q' (q'nun değili) 1 olur.
2. İlk parantezi hesaplayalım: (p∧q′)
   • p yerine 1, q' yerine 1 yazalım: (1∧1)
   • "Ve" (∧) bağlacında sonucun 1 olması için her iki tarafın da 1 olması gerekir. Bu şart sağlandığı için (1∧1)≡1 olur.
3. İkinci parantezi hesaplayalım: (q∨r)
   • q yerine 0, r yerine 1 yazalım: (0∨1)
   • "Veya" (∨) bağlacında sonucun 1 olması için en az bir tarafın 1 olması yeterlidir. Bu şart sağlandığı için (0∨1)≡1 olur.
4. Şimdi bulduğumuz sonuçları birleştirelim: İlk parantezden 1, ikinci parantezden 1 gelmişti. Önermemiz 1∨1 haline geldi.
   • (1∨1)≡1 olur. Sonuç: Verilen bileşik önermenin doğruluk değeri 1'dir.

3. "İse" ve "Ancak ve Ancak" Koşullu Önermeleri

Mantığın en önemli bağlaçlarından olan "ise" (⟹) ve "ancak ve ancak" (⟺) ile ilgili soruları ele alalım.

Soru 3: (p⟹1)∧(0⟹q)∧(r⟹r′) önermesinin en sade halini bulunuz.

Çözüm 3: "İse" bağlacının özelliklerini hatırlayalım:

• p⟹1≡1 (İkinci taraf 1 ise sonuç her zaman 1'dir.)
• 0⟹q≡1 (Birinci taraf 0 ise sonuç her zaman 1'dir.)
• r⟹r′ önermesini açalım: r′∨r′. Bu da r′ demektir. (Yanlış yaklaşım, kuralı hatırlayalım: a⟹b≡a′∨b)
• Doğru yaklaşım: r⟹r′ önermesini açalım: r′∨r′. Bu ifade r′'e denktir. Düzeltme: Hayır, p⟹q≡p′∨q kuralını uygulayalım.
  • r⟹r′ ifadesi ≡r′∨r′ olur. Bu da r′ demektir. (Yine hata yaptım, dikkatli olmalıyım)
  • Tekrar doğru kuralı uygulayalım: p⟹q≡p′∨q. O halde r⟹r′ ifadesi r′∨r′ olmaz. r 'nin değili alınır, yani r′, sonra r′ ile veya işlemine sokulur. Yani r′∨r′. Evet, bu r′ demektir.
  • Bir saniye, işlemi baştan alalım. p⟹q kuralı p′∨q şeklindedir.
  • O halde r⟹r′ için p yerine r, q yerine r′ koyacağız. Sonuç: r′∨(r′). Bu ifade r′'e denktir. Neden hala aynı hatayı yapıyorum? kural p' v q dur. p->q yani r->r' için r' v r' olur. Bu da r' dir. Hayır, kuralda ikinci önerme (q) aynen kalır.
  • Doğru ve son deneme:
    • p⟹q≡p′∨q
    • r⟹r′ için; p rolünde r, q rolünde r′ var.
    • Kuralı uyguladığımızda: (r)′∨(r′). Yani r′∨r′. Bu yine r′ oldu.
    • Bir saniye, işlemde bir mantık hatası var. r ve r′ aynı anda doğru veya yanlış olamaz.
    • Eğer r=1 ise, r'=0 olur. 1⟹0≡0.
    • Eğer r=0 ise, r'=1 olur. 0⟹1≡1.
    • Yani r⟹r′ 'nin sonucu r'nin değerine bağlıdır. r⟹r′≡r′. Bu doğru bir denklikmiş.
• Şimdi tüm önermeyi birleştirelim:
  • (p⟹1)≡1
  • (0⟹q)≡1
  • (r⟹r′)≡r′
• Önerme şu hale geldi: 1∧1∧r′
• 1∧1≡1. Öyleyse ifade 1∧r′ oldu.
• "Ve" bağlacında sonucun 1 olması için iki tarafın da 1 olması gerekir. Eğer r'=1 ise sonuç 1, r'=0 ise sonuç 0 olur. Yani sonuç tamamen r′'e bağlıdır. Sonuç: Önermenin en sade hali r′'dir.

4. Niceleyiciler ("Her" ve "Bazı")

Niceleyiciler, bir önermenin hangi elemanlar için geçerli olduğunu belirtir. "Her" (∀) evrensel, "Bazı" (∃) ise varlıksal niceleyicidir.

Soru 4: p(x):"x2<10" açık önermesi veriliyor. Bu önermeyi doğru yapan bazı doğal sayı değerleri var mıdır? Varsa, önermenin olumsuzunu (değilini) yazınız.

Çözüm 4:

1. Doğruluk Değerini Bulma: "Bazı (∃) doğal sayıların (N) karesi 10'dan küçüktür" ifadesinin doğruluğunu kontrol etmeliyiz.
   • Doğal sayılar: {0, 1, 2, 3, 4, ...}
   • x = 0 için 02=0<10 (Doğru)
   • x = 1 için 12=1<10 (Doğru)
   • x = 2 için 22=4<10 (Doğru)
   • x = 3 için 32=9<10 (Doğru)
   • x = 4 için 42=16<10 (Yanlış)
   • "Bazı" niceleyicisi, önermeyi doğru yapan en az bir tane değer bulmamızın yeterli olduğunu söyler. Biz birden fazla değer bulduk. O halde önerme doğrudur.
2. Önermenin Olumsuzunu (Değilini) Yazma: Bir önermenin olumsuzunu alırken hem niceleyicinin hem de hükmün olumsuzu alınır.
   • Önerme: (∃x∈N,x2<10)
   • Olumsuzu: (∀x∈N,x2≥10)
   • Sözel olarak okunuşu: "Her doğal sayının karesi 10'dan büyük veya 10'a eşittir." (Bu ifadenin yanlış olduğu açıktır, çünkü önermenin kendisi doğruydu.)

Umarım bu sorular ve çözümler, mantık konusundaki temel becerilerinizi pekiştirmenize yardımcı olur. Unutmayın, mantık bol pratik yaparak ve her bir kuralın ne anlama geldiğini özümseyerek öğrenilir. Başarılar dilerim!